Définition
Définition de la densité dans un ensemble :
- \((E,\tau)\) est un espace topologique
- \(A\subset E\)
- \(\overline A=E\)
$$\Huge\iff$$
- on dit que \(A\) est dense dans \(E\)
(
Adhérence)
Définition de la densité dans un
sous-ensemble :
- \((E,\tau)\) est un espace topologique
- \(F\subset E\)
- \(A\subset F\)
- \(A\) est dense pour la topologie induite par \(F\)
$$\Huge\iff$$
- \(A\) est dense dans \(F\)
(
Topologie induite)
Propriétés
Propriétés de base
Les propriétés suivantes sont équivalentes : $$\begin{align}&{{A\text{ est dense} }}\\ \iff&{{\forall x\in E,\forall V\in\mathcal V(x),\qquad V\cap A\ne\varnothing}}\\ \iff&{{\forall U\in\tau, \qquad U\ne\varnothing\implies U\cap A\ne\varnothing}}\\ \iff&{{\mathring{(A^C)}=\varnothing}}\end{align}$$- \(A\) est dense
- Intersection non nulle avec les voisinages
- Intersection non nulle avec les ouverts non nuls
- Intérieur du complémentaire est nul
(
Voisinage,
Intérieur)
Caractérisation
Caractérisation de la densité pour des ensembles :
- soient \(A,B\) deux ensembles de nombres réels
- $$\forall x\in B,\exists (a_n)_n\in A^{\Bbb N},\quad\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } a_n=x$$
$$\Huge\iff$$
- \(A\) est dense dans \(B\)